张自鹤 临泽县第一中学 （734200）
抽象函数是高中数学函数部分的难点，也是高中与大学函数部分的衔接点．由于抽象函数测试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、创新实践能力和运用数学的能力．因此，这类试题在近年来的高考中不断出现，也正是基于此，所以在设计抽象函数问题时更应该要慎重，在解决抽象函数问题时也更应该要重视解题后的反思，若仅根据思维习惯来解题，不认真反思，则很容易出现解题漏洞，形成思维定势，误导学生.
在许多高三复习资料上都有这样一道题：已知函数 对任意的实数都有 、 都有 , ．
（１）若 ,试求 的表达式；
（２）若 且 ≥2,不等式 ≥ 恒成立,求实数 的取值范围．
分析：对（１）中求函数解析式显然应该用赋值法，给变量赋予一些特定的值，从而探求出解析式．在（２）中涉及到含参不等式恒成立问题，可按含参不等式恒成立问题的解法来解．
原题解法如下：
（１）令 ，则 ，∴ ，
∴当 时， ， …， ， ．
将上式相加，得 （ ）
（２）当 且 ≥2时, （ ），
∴不等式 ≥ 恒成立，即 ≥ 恒成立．
∵ ≥2，∴ 恒成立．
∵ 的最小值是２，∴ ≤２．
本题涉及到的知识点多，覆盖面广，题目设计精巧，构思新颖，它把抽象函数与数列、不等式巧妙地结合在一起，有较强的综合性和示范性，是一道不可多得的好题，从题中所体现出的数学思想、方法，也可看出命题者确实花费了不少的心血，因此本题至今仍被许多资料所引用，其基本解法大都和上面的解法一样。若不细究，看其解法也没有什么问题，但经过仔细研究则可发现，本题（1）的解法中也还有值得推敲探讨的几个方面：
一、本题（1）中 、 所处的位置应该是同等的，因此也可先令 ，则会有：
，移项得 ，继续利用累加法或待定系数法则可得; ,
再令 ，则得： （★）
上述解法虽然麻烦但却是可行的，一样的方法却得到了两个不同的解析式，经检验还可发现两式中对应的 、 的值是相同的，而当 ≥3 ( )时,原题中的 与 （★）的值却是不一样的．显然这是某个地方出了问题，解法没有问题，那么问题到底出在哪里呢？再次审视已知条件，可发现显然是在构造抽象函数的解析式时出了问题，先给 赋值和先给 赋值得到的函数式的次数就不一样，从函数图象的角度去分析，它们至多有有限个交点，因此，问题应该出自所定义的抽象函数解析式方面．
二、是如何改造抽象函数的解析式才能使本题趋于完美？不妨利用抽象函数的基本模型把原题中的“ ”这部分改造为“ ”或“ ”或“ ”（当然还可以改造成其它的形式），这样就可使得抽象函数的解析式具有对称性，无论是先给 赋值还是先给 赋值所得结果就都一致起来了．如：若把原题中的“ ”这部分改造为：“ ”，则无论是先给 赋值还是先给 赋值所得结果都为 ．
总之，因为抽象函数与函数的单调性、奇偶性等众多性质联系紧密，加上本身的抽象性、多变性，问题类型多样性，解题方法复杂多变性，所以，在设计此类题目时更应该要慎重，要仔细推敲；教师在教学中遇到此类问题时也要认真反思，加强研究。
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